问题的引出
在多元线性回归模型中，如果变量为时间序列数据，为了防止发生伪回归，需要对变量进行单位根检验。
我们知道，ADF单位根检验有三种形式：
第一种不带截距项和趋势项，对应如下平稳图形：
第二种带截距项，对应如下平稳图形：
第三种同时带截距项和趋势项，对应如下平稳图形：
那么，当多元线性回归模型中变量对应不同ADF检验形式时。例如，被解释变量对应ADF形式3的平稳，解释变量对应ADF形式1的平稳。那么，解释变量和被解释变量可以直接放入多元线性回归模型吗？
我们分几种情况来讨论
一、原始序列平稳，平稳形式不同
情况1：多元线性回归中的变量，其ADF检验的平稳形式均为形式1（无截距项和趋势项）或者形式2（只有截距项），此时可以将所有变量直接放入多元线性模型进行估计。
我们通过实际例子来说明。
设有两个平稳时间序列x和y，其平稳形式均为形式1（无截距项和趋势项）：
采用EViews对y和x进行估计，结果如下所示：
生成序列y1，y1=y+10，y1的平稳形式为形式2（只有截距项）：
然对y1和x估计，结果如下所示：
对比两个结果可知，变量x的系数、R2、F统计量是一致,截距项的值发生了变化（增大了10）。但由于多元线性回归模型主要是研究解释变量对被解释变量的影响，所以不用关心截距项的系数。
如果原始序列平稳，在多元线性回归中，某个变量整体增加常数C，不会改变多元线性回归模型变量的系数。
情况2：多元线性回归中的变量，有1个或多个变量ADF检验的平稳形式均为形式3（同时包含截距项和趋势项），此时需要在多元线性回归方程中增加趋势变量t。
首先，生成序列t=（1，2，3,....);接着，生成序列y2，y2=y+0.2*t，y2的平稳形式为形式3（同时有截距项和趋势项）：
然后对y2和x进行估计，结果如下所示：
对比前面的结果可知，变量x的系数、R2、F统计量均发生了明显的改变。
在y2和x的回归方程中加入t，重新进行估计，结果如下所示：
对比前面的结果可知，变量x的系数和第1个结果近似相等，且模型识别出了趋势项t的系数(0.2)。
进一步，生成序列x2，x2=x+0.5*t，x2的平稳形式为形式3（同时有截距项和趋势项），然后在y2和x2的回归方程中加入t进行估计，结果如下所示：
可以发现，变量x的系数仍与第1个结果近似相等。
如果原始序列平稳，在多元线性回归中，某个变量整体加上趋势T，那么多元线性回归模型应该加入趋势项T。
二、原序列不平稳，一阶差分后序列平稳，平稳形式不同
情况3：多元线性回归中的变量，有1个或多个变量ADF检验的平稳形式均为形式2（只有截距项），其余变量ADF检验的平稳形式均为形式1（无截距项和趋势项）
设有两个平稳时间序列w和z，原始序列不平稳，1阶差分后平稳，其平稳形式均为形式1（无截距项和趋势项）：
采用EViews对w和z进行估计，结果如下所示：
生成序列△w1，△w1=△w+3，则△w1的平稳形式为形式2（只有截距项）；
根据△w1推导出w1：
对w1和z进行估计，结果如下所示：
对比前面的结果可知，变量z的系数、R2、F统计量均发生了明显的改变。
在w1和z的回归方程中加入趋势t，重新进行估计，结果如下所示：
此时，变量z的系数与w和z方程中估计结果近似相等。
如果序列1阶查分后平稳，在多元线性回归中，某个变量差分后整体加上常熟C，那么原始变量的多元线性回归模型应该加入趋势项T。
情况4：多元线性回归中的变量，有1个或多个变量ADF检验的平稳形式为形式3（同时包含截距项和趋势项）
生成序列△w2，△w2=△w+2t，则△w2的平稳形式为形式3（只有截距项）；
根据△w2推导出w2：
对w2和z进行估计，结果如下所示：
对比前面的结果可知，变量z的系数、R2、F统计量均发生了明显的改变。
在w2和z的回归方程中加入趋势t和趋势的平方t2，重新进行估计，结果如下所示：
此时，变量z的系数与w和z方程中估计结果近似相等。
如果序列1阶查分后平稳，在多元线性回归中，某个变量差分后整体加上趋势，那么原始变量的多元线性回归模型应该加入趋势项T和趋势的平方项T2。
三、二阶差分后序列平稳的情况
二阶差分后序列平稳的情况比较少见，且较为复杂，这里不再讨论。