1 时间序列中波动集聚性概述
与多元线性回归中类似，单变量时间序列模型（ARMA）中也可能存在异方差的问题。导致模型的估计失效。
单变量时间序列模型中的异方差问题比多元线性回归中更严重。多元线性回归中有多个变量，异方差可能会相互抵消。而单变量时间序列模型中只有一个变量，异方差就是该变量固有的属性，其主要表现为波动的集聚性质。
下图展示了波动的集聚性走势，时间序列围绕0值上下波动，因而其是平稳时间序列。但是波动幅度从0刻开始逐渐增大，到50时刻波动幅度最大，之后拨付逐渐减小。
当然，这种非常明显和规则的波动集聚性在工程领域、音频处理中比较常见，但在经济变量中却很难见到。
ARCH和GARCH模型是对单变量时间序列的波动集聚性进行建模描述的最常用方法。通过对波动性建模分析，不仅可以提高时间序列的预测精度，而且可以对波动的集聚性特征进行提取和分析。
2 ARCH、GARCH模型的形式
2.1 ARCH模型
均值方程：
方差方程：
2.2 GARCH模型
均值方程：
方差方程：
ARCH和GARCH模型包含两个方程，一是均值方差，其和ARMA模型一致；二是方差方程，即对均值方程中的残差项的方差进行建模。
ARCH模型中的方差方程类似一个移动平均过程（MA）；GARCH模型中的方差方程类似一个自回归移动平均过程（ARMA）。
3 ARCH、GARCH模型的应用
shibor数据的波动集聚性分析： shibor是上海银行间同业拆放利率，当时间比较短的时候，波动的集聚性特征不太明显，我们在ARMA模型应用中构建了shibor的均值方程。但是的当时间序列较长时，shibor可能会表现出波动集聚性。所以这里采用ARCH和GARCH模型对5年时长的shibor数据进行波动集聚性分析。
3.1 新建工作文件
在EViews主窗口中选中file/new/workfile
在Workfile Create窗口的Workfile structrue type中选择Unstructured/Undated；在Data range中输入1248。
虽然shibor数据是时间序列数据，但是为了方便，这里直接设置为截面数据格式；其估计结果与设置为时间序列格式一致（可能会存在略微的差异）。
3.2 录入数据
在EViews主窗口依次选择Object/New Object...
在New Object窗口的Type of object中选择Series，在Name for object中输入变量名shibor。
在工作文件窗口中双击shibor打开，点击右上角的Edit+/-,然后将2016年至2020年隔夜利率（O/N）数据从Excel文件中复制粘贴进来。
3.3 绘制走势图
在工作文件中双击打开shibor变量，在Series窗口中依次选择View/Graph...
在 Graph Options窗口的Option Pages中选择Basic type；在Specific中选择Line&Symbol，点击OK。
观察SHIBOR的走势图，发现数据在前半段波动的幅度较小，而后半段波动更为剧烈，存在明显的波动集聚现象。
3.4 单位根检验
继续在Series窗口中依次选择View/Unit Root Test...；
在Unit Root Test窗口的Test for unit root in中选择Level，在Include in test equation选择None，点击OK。
在ADF检验结果窗口可以看出，ADF统计量的P值大于0.1，故不显著，存在单位根；
继续进行单位根检验。
选择Levei和Intercept组合，点击OK。
在ADF检验结果窗口可以看出，ADF统计量的P值小于0.1，故显著，不存在单位根。因而shibor变量原始序列平稳。
平稳为带截距项的形式。
3.5 绘制自相关和偏自相关图
继续在Series窗口中依次选择View/Correlogram...
在Correlogram Specification窗口的Correlogram of中选择Level，表示原始序列，在Lags to include中输入36，表示滞后期。
从自相关与偏自相关图可以看出，自相关拖尾，偏自相关系数一阶截尾。所以初步判定应该是AR(1)模型或AR(2)模型。
同样，观察法只能当作初步分析，具体形式可以在初步判断的基础上进行调整，然后根据变量显著性、AIC、RIC和R2来确定最优的模型形式。
3.6 估计ARMA模型
在EViews主窗口中依次选择Quick/Estimate Equation；
3.6.1 AR(1)模型
在Equation Estimation窗口的Equation specification中输入shibor ar(1) c，进行估计。
由于单位根检验时为带截距项形式的平稳，所以在估计ARMA模型时需要加常数项c。
AR(1)模型估计结果显示，C和AR(1)的系数均显著，且R-squared为0.884532，Akaike info criterion和Schwarz criterion分别为-0.69906和-0.68673；
3.6.2 AR(2)模型
AR(2)模型估计结果显示，C、AR(1)和AR(2)的系数均显著，且R-squared与AR(1)相比有所提高，Akaike info criterion和Schwarz criterion分别为有所降低；所以AR(2)模型优于AR(1)模型。
Akaike info criterion和Schwarz criterion的值可以为负数，数值越小越好（注意不是比较绝对值）。
3.6.3 ARMA(1,1)模型
ARMA(1,1)模型估计结果显示，C、AR(1)和MA(1)的系数均显著，且R-squared与AR(2)相比有所提高，Akaike info criterion和Schwarz criterion分别为有所降低；所以ARMA(1,1)模型优于AR(2)模型。
3.6.4 ARMA(2,1)模型
ARMA(2,1)模型估计结果显示，AR(2)的系数不显著，虽然R-squared与ARMA(1,1)相比有所提高，但Akaike info criterion和Schwarz criterion均变大；所以ARMA(2,1)模型劣于ARMA(1,1)模型。
最终确定均值方程的形式为ARMA(1,1)。
3.7 绘制残差序列相关图和偏自相关图
既然shibor变量存在波动集聚现象。那么估计完均值方程后，可以观察下均值方程残差项的自相关和偏自相关图。
在工作文件窗口双击resid打开；
在Series窗口中依次选择View/Correlogram...，并在出现的Correlogram Specification窗口保持默认选项，点击OK。
观察resid的自相关和偏自相关图可知，滞后第3，9，17-19期存在相关性。但是其不存在明显的截尾和拖尾现象，所以很难通过图形判断出resid相关的形式!这种情况，可以多估计几种模型形式，通过统计量来判断最优形式。
-
但模型的形式仍应该坚持简洁的原则，不宜太复杂。
-
GARCH（1,1）可以近似高阶ARCH模型，因而当不不知道选择哪个模型时，或者选择的模型形式太复杂，不妨试一试GARCH（1,1）模型！
3.8 估计ARCH、GARCH模型
在EViews主窗口中依次选择Quick/Estimate Equation；
在Equation Estimation窗口的Method中选择ARCH-...；
3.8.1 ARCH(1)模型
在Equation Estimation窗口的Mean equation中输入确定好的均值方程：shibor ar(1) ma(1) c；
在Order的ARCH中输入1，GARCH中输入0。
Model默认选择GARCH/TARCH，初次之外还可以选择EGARCH和PARCH模型；
Threshold order为TARCH的门限数量，默认为0；
Variance为ARCH模型方差方程中影响方差的其他因素，不填表示无；
ARCH-M为ARCH-M模型选择，可以在ARCH模型均值方程中加入影响均值的因素。
ARCH(1)模型估计结果显示，均值方程中C、AR(1)和MA(1)的系数均显著；方差方程中C和RESID(-1)^2的系数均显著。R-squared为0.87803；Akaike info criterion和Schwarz criterion分别为-1.201801和-1.181251。
3.8.2 GARCH(1,1)模型
在ARCH(1)估计结果窗口中，点击Estimate按钮，重新进入Equation Estimation窗口；
在Equation Estimation窗口的Mean equation中输入确定好的均值方程：shibor ar(1) ma(1) c；
在Order的ARCH中输入1，GARCH中输入1。
GARCH(1,1)模型估计结果显示，均值方程中C、AR(1)和MA(1)的系数均显著；方差方程中C、RESID(-1)^2和GARCH(-1)的系数均显著。R-squared与ARCH(1)模型相比有所提高；Akaike info criterion和Schwarz criterion明显减小，故GARCH(1,1)模型优于ARCH(1)模型。
3.8.3 TGARCH(1,1)模型
在GARCH(1,1)估计结果窗口中，点击Estimate按钮，重新进入Equation Estimation窗口；
在Equation Estimation窗口的Mean equation中输入确定好的均值方程：shibor ar(1) ma(1) c；
在Order的ARCH中输入1，GARCH中输入1；
Threshold order中输入1。
TGARCH(1,1)模型估计结果显示，均值方程中C、AR(1)和MA(1)的系数均显著；方差方程中C、RESID(-1)^2、GARCH(-1)和RESID(-1)^2(RESID(-1)﹤0)的系数均显著。R-squared与GARCH(1,1)模型相比有所下降；Akaike info criterion和Schwarz criterion有所减小。TGARCH(1,1)模型与GARCH(1,1)模型无法确定哪个更合适，继续估计其他模型形式。
3.8.4 方差影响因素的GARCH模型
ARCH模型中，方差可以会与shibor的取值有关，例如，shibor上升时，方程也跟着上市，所以将shibor变量加入方差的影响因素之中。
在上一步估计结果窗口中，点击Estimate按钮，重新进入Equation Estimation窗口；
在Equation Estimation窗口的Mean equation中输入确定好的均值方程：shibor ar(1) ma(1) c；
在Order的ARCH中输入1，GARCH中输入1；
Threshold order中输入0；
Variance regressors中输入shibor。
模型估计结果显示，均值方程中C、AR(1)和MA(1)的系数均显著；方差方程中C、RESID(-1)^2、GARCH(-1)和SHIBOR的系数均显著。R-squared大于GARCH(1,1)和TGARCH(1,1)模型；Akaike info criterion和Schwarz criterion也小于GARCH(1,1)和TGARCH(1,1)模型。故加入方差影响因素后的模型优于GARCH(1,1)和TGARCH(1,1)模型。
3.8.5 ARCH-M模型
在上一步估计结果窗口中，点击Estimate按钮，重新进入Equation Estimation窗口；
在Equation Estimation窗口的Mean equation中输入确定好的均值方程：shibor ar(1) ma(1) c；
在Order的ARCH中输入1，GARCH中输入1；
Threshold order中输入0；
删除Variance regressors中的内容；
ARCH-M中选择log(Var)。
模型估计结果显示，均值方程中LOG(GARCH)、C、AR(1)和MA(1)的系数均显著；方差方程中C、RESID(-1)^2、GARCH(-1)的系数均显著。Akaike info criterion和Schwarz criterion与上一个模型相比有所增大，故该模型不是最优。
3.8.6 混合模型
当然，可以在ARCH模型中，同时包含门限、ARCH-M选项和方差影响因素。
从估计结果上看，当模型中同时包含门限、ARCH-M选项和方差影响因素后，方差方程中GARCH(-1)的系数不显著，Akaike info criterion和Schwarz criterion也增大。所以虽然该模型形式复杂，但是并不是最优的。
目前来看，加入方差影响因素后的GARCH(1,1)模型最优。当然，可以进一步来估计其他ARCH模型形式。
3.8.7 EGARCH模型
在上一步估计结果窗口中，点击Estimate按钮，重新进入Equation Estimation窗口；
在Equation Estimation窗口的Mean equation中输入确定好的均值方程：shibor ar(1) ma(1) c；
Model选择EGARCH；
在Order的ARCH中输入1，GARCH中输入1；
Threshold order中输入0；
Variance regressors输入shibor；
ARCH-M选择None。
从EGARCH模型的估计结果来看，综合系数显著性、R-squared、Akaike info criterion和Schwarz criterion。EGARCH模型并不优于加入方差影响因素后的GARCH(1,1)模型。
3.8.8 PARCH模型
在上一步估计结果窗口中，点击Estimate按钮，重新进入Equation Estimation窗口；
在Equation Estimation窗口的Mean equation中输入确定好的均值方程：shibor ar(1) ma(1) c；
Model选择PARCH；
在Order的ARCH中输入1，GARCH中输入1；
Threshold order中输入0；
Variance regressors输入shibor；
ARCH-M选择None。
从PARCH模型的估计结果来看，综合系数显著性、R-squared、Akaike info criterion和Schwarz criterion。很难判断PARCH模型和加入方差影响因素后的GARCH(1,1)模型哪个更好。
所以最终这两个模型都可以，需要根据shibor的理论和现实状况，以及研究的假设进行选择！