1 协整和误差修正模型概述
在时间序列中，除了需要对时间序列的走势进行预测外。有些时候也想研究时间序列变量之间的影响（因果性质）。例如，研究投资（时间序列）是否能促进经济增长（时间序列）。直接采用多元线性回归模型可能会产生伪回归问题。因为时间序列数据中包含时间因素，而时间因素才是引起投资和经济增长一起变动的共同原因（两者可能原本就没有关系）。此时，需要对变量进行平稳性检验，如果所有变量都平稳，那么可以将时间因素排除，直接采用多元线性回归模型进行研究。如果有变量不平稳，那么就需要用协整方法进一步判断变量之间是否存在长期均衡关系。
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存在协整的前提是变量之间同阶单整！如果一个变量是1阶单整（1次差分后平稳），另一个变量是2阶单整（2次差分后才平稳），那么这两个变量不可能存在协整关系。当然，两个1阶单整变量只是可能存在协整关系，具体是否存在需要进行检验！
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协整的另一个性质是可以降阶，比如有三个变量，两个变量是2阶单整，一个变量是1阶单整。此时，两个2阶单整变量可能存在协整关系，而且他们之间的线性组合正好可以变成成一个1阶单整变量，然后再和剩下的那个1阶单整变量组合成平稳序列。因而，单整阶数为2、2、1的三个变量之间是可能存在协整关系的！
2 协整和误差修正模型的形式
协整：
误差修正：
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协整实质上就是变量之间的长期线性关系，这里将变量Y放在了等式左边，当然也可以是X或Z在等式左边，实际应用中具体怎么设置需要依据相关经济理论。
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协整实质上就是变量之间的长期线性关系，这里将变量Y放在了等式左边，当然也可以是X或Z在等式左边，实际应用中具体怎么设置需要依据相关经济理论。
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误差修正模型中，各变量的单整阶数是0或1，如果存在单整阶数为2的变量，最好不要构建误差修正模型！
3 两个变量协整和误差修正模型的应用
房价和M2的长期均衡关系： 近10年中国房价大幅上升，很多人将原因归结为货币超发。这里我们采用协整方法来研究我国的房价与基础货币供应量m2的关系。
3.1 协整检验
3.1.1 新建工作文件
在EViews主窗口依次选择**file/new/workfile...**进入工作文件创建窗口。
在Workfile Create窗口的workfile structure type 中选择“Dated-regular frequency”;Frequency中选择Monthly；Start date中输入起始年月：2010:06，End date中输入结束年月：2021:08,点击ok按钮，
3.1.2 录入数据
在EViews主窗口中选中Object/new Object...
在New Object窗口的Type of object中选择Series，在Name for object中输入变量名m2；
按照相同步骤，创建houseprice变量
在工作文件窗口中按着ctrl键依次选中houseprice和m2，右键依次选择Open/as Group,打开Group窗口。
在Group窗口，点击右上角的Edit+/-,然后将房价和m2的数据从Excel文件中复制粘贴进来。
3.1.3 确定变量的单整阶数
在工作文件中双击m2将其打开，在Series窗口中依次选择View/Unit Root Test，进入ADF检验窗口。
在Unit Root Test窗口中，先从Test for unit root in的Level选项开始，依次在Include in test equation中选择None、Intercept和Trend and intercept进行检验，如果存在单位根（ADF检验统计量不显著），则继续选择Test for unit root in的1st difference，2nd difference进行检验，直到不存在单位根为止（ADF检验统计量显著）。
由于m2时间序列数据量较少，故Maximum lags输入最大滞后期：5。
不平稳的单位根结果这里省略！
可以看出，最终M2一阶差分后平稳。
在工作文件中双击houseprice将其打开，在Series窗口中依次选择View/Unit Root Test，进入ADF检验窗口。
在Unit Root Test窗口中，Maximum lags同样输入最大滞后期：5。
不平稳的单位根结果这里省略！
可以看出，最终houseprice一阶差分后平稳。
3.1.4 EG两步法
(1) 估计m2和houseprice的多元线性方程
在工作文件窗口中按着ctrl键依次选中houseprice和m2，右键依次选择Open/as Equation...
在Equation specification窗口的Equation specification中输入houseprice m2 c，点击确定。
估计结果窗口中，m2变量和常数项c的系数的P值小于0.1，因而两个变量系数均显著！
注意，此时还不能证明m2和houseprice之间有协整关系。
(2) 对残差进行单位根检验，判别是否存在协整
在EViews主窗口中选中Quick/Generate Series...
在估计出m2和houseprice的线性方程后，方程的残差放入了resid变量，但是不能直接对resid进行单位根检验，所以需要生成一个和resid相同的新变量。
在Generate Series by Equation窗口的Enter equation中输入：rd=resid，点击OK。
对rd变量进行单位根检验，结果显示rd变量平稳。这证明了m2和houseprice之间存在协整关系！
3.1.5 JJ协整检验
EG两步法有较大的局限性，例如变量是2阶以上单整，EG两步法将失效。所以这里进一步采用JJ协整检验方法来判断m2和houseprice的协整关系。
在EViews主窗口中，依次选择Quick/Group Statistics/Johansen Cointegration Test
在Series List窗口中，输入需要进行检验的变量：houseprice m2
在Johansen Cointegration Test窗口中，有5中协整关系的形式，由于m2和houseprice变量的单位根形式都是无截距项和趋势项，所以这里选择协整的形式1；当然，协整形式的确定没有严格的要求，如果形式1不存在协整关系，也可以采用其他形式。如果不知道选择哪个形式，还可以通过第6个选项，自动比较各个形式。
协整检验中滞后性的确定并没有固定方法，经验方法是如果进行协整检验的变量的差分项存在n阶自相关，那么滞后项就应该取n值附近。同时，如果时间序列数据较短，那么n应当取小一点。最后，可以多试几个滞后期，看哪儿最合适！
本例的Lag intervals中输入1 2。
在协整检验结果中，主要看Unrestricted Cointegration Test（Trace）和Unrestricted Cointegration Test（Maximum Eigenvalue）两个表。
确定存在几个协整的方法是：
从None开始，None对应的原假设是：不存在协整关系；如果None上方有星号，则表示拒绝原假设，即至少1个协整关系。继续看At most1的结果，At most1对应的原假设是：最多存在1个协整关系，如果At most1上方没有星号，则表示接受原假设，最终确定变量有1个协整向量；如果At most1上方有星号，则表示拒绝原假设，即至少有1个协整向量，到底有几个协整向量还需要通过At most2、At most3的显著性来判断。
本例只有两个变量，Unrestricted Cointegration Test（Trace）和Unrestricted Cointegration Test（Maximum Eigenvalue）两个表中None上方都有星号，因而说明m2和houseprice之间有协整关系，由于只有两个变量，所以最多也就存在一个协整向量。
最后，“1 Cointegrating Equation(s)”中给出了协整向量，即houseprice：m2=1：-0.001771；
3.2 误差修正
协整检验表明m2和houseprice存在长期均衡关系，那么，但m2和houseprice偏离长期均衡关系，还能够自动进行修复吗？这里进一步建立m2和houseprice的误差修正模型进行研究。
在工作文件窗口中按着ctrl键依次选中houseprice和m2，右键依次选择Open/as VAR,打开VAR模型设定窗口。
在VAR Specification窗口的VAR Type中选择Vector Error Correction；Endogenous Variables中输入houseprice m2；Lag Intervals for Endogenous中输入1 2；点击确定。
误差修正模型估计结果包含两部分，协整方程和误差修正方程，误差修正方程中的CointEq1表示协整方程的残差。其中主要看误差修正方程中CointEq1的系数。
D(HOUSEPRICE)对应的CointEq1的系数为-0.014875,t统计量绝对值大于1.56，因而是显著的。其表示当houseprice突然变大或者m2突然减少，两者偏离长期均衡关系后，houseprice会逐渐减小进行调整，从而使两者回归到长期均衡关系。
D(M2)对应的CointEq1的系数为-2.486251,其表示当houseprice突然变大或者m2突然减少，两者偏离长期均衡关系后，m2仍会减小，导致两者无法回归到长期均衡关系。但是由于系数的t统计量绝对值小于1.56，因而不显著。所以误差修正方程以HOUSEPRICE的调整为主。
当然，该例子中m2和housepice具有明显的自回归特性（AR），长期均衡方程中存在序列自相关问题。在实际应用中，可以计算出m2和houseprice的增长率，计算增长率之间的长期关系，从而减弱序列自相关问题！
4 多个变量协整和误差修正的应用
资本、劳动和产出的长期均衡关系： 生产函数表明产出由资本、劳动和技术驱动。这里我们采用协整方法来研究我国的总产出（gdp）、资本（全社会固定资产投资完成额）和劳动（就业人口）的关系。
更准确的资本变量是我国的资本存量数据，但是资本存量估算起来比较麻烦，所以这里进行了简化！
4.1 新建工作文件
在EViews主窗口依次选择**file/new/workfile...**进入工作文件创建窗口。
在Workfile Create窗口的workfile structure type 中选择“Dated-regular frequency”;Frequency中选择Annual；Start date中输入起始年：1952，End date中输入结束年：2020,点击ok按钮，
4.2 录入数据
在EViews主窗口中选中Object/new Object...
在New Object窗口的Type of object中选择Series，在Name for object中输入变量名k；
按照相同步骤，创建y和l变量
在工作文件窗口中按着ctrl键依次选中k、y和l，右键依次选择Open/as Group,打开Group窗口。
在Group窗口，点击右上角的Edit+/-,然后将gdp、固定资产投资完成额、就业人口的数据从Excel文件中复制粘贴进来。
4.3 变量变换
在EViews主窗口依次选择Quick/Generate Series...
在Generate Series by Equation的Enter equation中输入lnk=log(k)；
按照同样的步骤，创建lny和lnl变量。
4.4 确定单整阶数
在工作文件中双击lnk将其打开，在Series窗口中依次选择View/Unit Root Test，进入ADF检验窗口。
在Unit Root Test窗口中，先从Test for unit root in的Level选项开始，依次在Include in test equation中选择None、Intercept和Trend and intercept进行检验，如果存在单位根（ADF检验统计量不显著），则继续选择Test for unit root in的1st difference，2nd difference进行检验，直到不存在单位根为止（ADF检验统计量显著）。
Lag length采用EViews默认选项。
不平稳的单位根结果这里省略！
可以看出，最终lnk一阶差分后平稳。
对lnl进行单位根检验，不平稳的单位根结果这里省略！
可以看出，lnl原始序列平稳。
对lny进行单位根检验，不平稳的单位根结果这里省略！
可以看出，最终lny一阶差分后平稳。
单整结果表明lny和lnk是1阶单整，而lnl是0阶单整；但由于lny和lnk有可能组合成平稳序列，所以最终3者是可能存在协整关系的，这需要通过协整检验来确定！
4.5 JJ协整检验
在EViews主窗口中，依次选择Quick/Group Statistics/Johansen Cointegration Test
在Series List窗口中，输入需要进行检验的变量：lny lnk lnl
由于理论上生产函数的常数项表示技术进步，所以在Johansen Cointegration Test窗口中，选择协整形式2（协整方程中包含常数项）。
在协整检验结果中，Unrestricted Cointegration Test（Trace）和Unrestricted Cointegration Test（Maximum Eigenvalue）两个表中None、At most1和At most2上方都有星号，因而说明lnk、lnl和lny之间有2个以上协整向量，但3个变量最多有两个协整向量，所以其实这三个变量有2个协整向量。但是由于我们只关系3者间的关系，所以只看第一个协整向量就行了。
第一个协整向量为： lny：lnk：lnl：c=1：-0.611106：-1.068840：6.359833；系数下方是标准差，系数除以标准差可以计算出变量的t值，经过计算发现，个变量的系数均显著，因而根据协整向量可以写出生产函数的形式为：lny=-6.359833+0.611106lnk+1.068840lnl，其中技术进步为e-6.359833。
注意：由于lny、lnk和lnl三者都是宏观经济变量，往往存在多重共线性，所以直接用多元线性回归来估计三者的关系，其系数可能不显著！所以建议根据协整向量来确定变量间的关系式。