1 向量自回归模型概述
在单变量时间序列模型中，我们对某个具有稳定状态的时间变量进行了建模和预测。那么，当多个具有一定联系的变量构成具有稳定状态的多变量系统时，如果对这个多变量系统未来运行状态进行预测，如何解构变量之间的相互关系呢？这时就需要用到向量自回归模型！
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向量自回归模型是单变量时间序列模型的升级！单变量时间序列模型主要是对一个变量进行预测，而向量自回归模型是对具有一定关系的多个变量同时进行预测。
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单变量时间序列要求数据是平稳的，即保持一定的状态持续运行！向量自回归模型也要求具有一定关系的多个变量构成的系统是平稳的。否则，如果向量自回归整个系统处于随机游走的状态，那么向量自回归中每一个变量都将无法预测！
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向量自回归模型的平稳性，简单可以理解为要求每个变量都平稳，但这要求单位根检验的滞后项和VAR系统中的滞后项一致，即如果每个变量都是滞后1阶平稳，那么建立的滞后1期的VAR系统也是平稳的，但建立的滞后2期的VAR系统可能就不平稳了！所以，对于VAR模型的平稳性，可以通过特征值是否处于单位圆上来进行判断！
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后面会看到，在协整模型中，如果每个变量都是不平稳的，但是同阶单整，同样是可以建立协整方程。因为在协助模型中，我们关心的是变量之间的关系（解释变量对被解释变量的影响），而不需要对变量进行预测。所以，即使多个变量构成的系统是随机游走的（无法对变量走势进行预测），但只要变量之间的关系一直稳定，就可以建立协整模型来对这一关系进行度量。
2 向量自回归（VAR）模型的形式
向量自回归（VAR）模型的形式中虽然包含了多个变量之间相互关系的等式，但是其与多元线性回归模型有着本质的区别！
多元线性回归模型中，可以通过解释变量系数的值和显著性来判断解释变量对被解释变量的影响。但是向量自回归（VAR）模型，变量之间的地位是平等的，不存在明显的解释变量和被解释变量区分。而且等式右边包含了各变量的多个滞后项，这些相互关联的滞后项共同对等式左边的变量产生影响，所以无法通过某个滞后变量系数的值来判断其对等式左边变量的影响！
向量自回归（VAR）模型主要通过脉冲响应函数（某变量所有滞后项联合对其他变量的影响路径）、方差分解（某变量受到其他变量的影响以及影响的占比）来对变量之间的相互作用进行分析！
3 向量自回归（VAR）模型的应用
长期和短期利率的自回归过程： 在ARCH和GARCH模型中，我们对2016年至2020年shibor隔夜利率进行了建模分析！理论分析表明，由于存在套利，短期利率和长期利率会相互影响、构成一个复杂的系统一起运行。这里采用向量自回归（VAR）模型对我国shibor的短期利率和长期利率的运行和关系进行建模分析！其中，利率分别选择隔夜利率、1周期的利率和1年期的利率。
3.1 新建工作文件
在EViews主窗口中选中file/new/workfile
在Workfile Create窗口的Workfile structrue type中选择Unstructured/Undated；在Data range中输入1248。
虽然shibor数据是时间序列数据，但是为了方便，这里直接设置为截面数据格式；其估计结果与设置为时间序列格式一致（可能会存在略微的差异）。
3.2 录入数据
在EViews主窗口依次选择Object/New Object...
在New Object窗口的Type of object中选择Series，在Name for object中输入变量名day1，表示隔夜利率。
按照相同步骤，继续新建week1和year1变量。
在工作文件窗口中按着ctrl键依次选中day1、week1和year1，右键依次选择Open/as Group,打开Group窗口。
在Group窗口，点击右上角的Edit+/-,然后将2016年至2020年隔夜利率（O/N）、1Week利率和1year利率数据从Excel文件中复制粘贴进来。
3.3 隔夜利率和1年期利率的VAR模型
3.3.1 VAR模型平稳性检验
在工作文件窗口中按着ctrl键依次选中day1和year1，右键依次选择Open/as VAR,打开VAR模型设定窗口。
在VAR Specification窗口的VAR Type中选择Unrestricted VAR；Endogenous Variables中输入day1 year1；Lag Intervals for Endogenous中输入1 2；Exogenous Variables中输入c。
Lag Intervals for Endogenous中的“1 2”表示滞后期从滞后1期开始，到滞后2期结束！其中，最佳滞后期没有确切的获取方法，可以多估计几个VAR模型、通过AIC和SC来判断，也可以通过经验和研究对象的理论进行确定。
Exogenous Variables表示模型中包含的外生变量，也可以不输入任何外生变量！
在Var 模型估计结果窗口，依次选择View/Lag Structure/AR Roots Graph,获得特征值的图形。
单位根图中，将鼠标移动到最右边的点，发现其正好位于单位圆上面，所以VAR模型存在单位根，不平稳！
在判断VAR模型的平稳性时，应该优先采用单位根图的方式！，VAR模型不平稳时，再采用ADF判断每个变量是否平稳，以及单整阶数！
在工作窗口中双击day1打开，在day1的Series窗口中依次选择View/Unit Root Test,进入ADF单位根检验窗口。
在Unit Root Test窗口中，先从Test for unit root in的Level选项开始，依次在Include in test equation中选择None、Intercept和Trend and intercept进行检验，如果存在单位根（ADF检验统计量不显著），则继续选择Test for unit root in的1st difference，2nd difference进行检验，直到不存在单位根为止（ADF检验统计量显著）。
Lag length的滞后期采用EViews给出的默认值
经过ADF单位根检验的多种形式，最终在Level和Intercept组合，拒绝了存在单位根的假设！即day1变量是平稳的。
接着，采用相同步骤对year1进行平稳性检验，最终在1st difference和None组合，拒绝了存在单位根的假设！即year1变量不平稳，1阶差分后平稳。
3.3.2 估计VAR模型
由于day1变量平稳，year1变量1阶差分后才平稳，所以day1和year1的原始变量无法建立VAR模型。需要对year1变量进行差分，构建day1和year1差分的VAR模型，其中，year1差分后表示1年期利率的变动，仍具有经济意义。
在EViews主窗口依次选择Quick/Generate Series，
在Generate Series by Equation窗口的Enter equation中输入dyear1=d(year1)对year1进行差分。
在工作文件窗口中按着ctrl键依次选中day1和dyear1，右键依次选择Open/as VAR,重新估计day1和dyear1的VAR模型。
在VAR模型估计结果窗口，依次选择View/Lag Structure/AR Roots Graph,获得特征值的图形。可以发现，此时所有的特征值都位于单位圆内部，表示VAR模型平稳。
在VAR单位根检验窗口中依次选择View/Estimation Output，可以重新进入模型估计结果窗口。
在VAR模型估计结果窗口中，我们一般不看变量系数的估计值，而是应该通过脉冲响应图和方差分解图来对day1和dyear1的关系进行分析。
在VAR模型估计结果窗口中，依次选择View/Impulse Response...，进入脉冲响应设置窗口。
在 Impluse Responses窗口中，保持默认选项，点击确定，进入脉冲响应的结果图。
脉冲响应图包含四幅图，分别为变量两两之间的响应图，如果建立的是三个变量的VAR，那么脉冲响应图将包含九幅图！
右上角是隔夜利率（day1）对1年期利率变动（dyear1）的响应！从中可以看出，当dyear1变动1单位时，当期不会将影响传导给day1，第2期开始day1收到小幅影响，且从第3期开始，影响逐渐减小。总之，dyear1变动对day1的影响是非常小的。
左下角是1年期利率变动（dyear1）对隔夜利率（day1）的响应！day1变动对dyear1的影响高于dyear1变动对day1的影响，但整体上影响也偏小。
在脉冲响应图中，依次选择**View/Variance Decomposition...**进行方差分解。
在VAR Variance Decomposition窗口中，保持默认选项，点击确定，进入方差分析的结果图。
方差分解图也包含四幅图，右上角是1年期利率变动（dyear1）对隔夜利率（day1）方差的贡献，可以看出，贡献几乎为零，即1年期利率变动（dyear1）对隔夜利率（day1）的影响较小。
左下角是隔夜利率（day1）对1年期利率变动（dyear1）方差的贡献，隔夜利率（day1）对1年期利率变动（dyear1）的影响也较小。
3.4 隔夜利率和1周期利率的VAR模型
在工作文件窗口中按着ctrl键依次选中day1和week1，右键依次选择Open/as VAR,打开VAR模型设定窗口。
VAR Specification窗口的选项保持默认，点击确定。
在Var 模型估计结果窗口，依次选择View/Lag Structure/AR Roots Graph,获得特征值的图形。
单位根图中，将鼠标移动到最右边的点，发现其坐标值为0.98，小于1，因而所有特征值位于单位圆内，VAR模型平稳！可以直接对day1和week1原始序列进行VAR建模。
为了进一步验证VAR模型的平稳性，这里采用ADF方法对week1变量进行单位根检验（day1变量在前面检验过）。
可以看出，采用EViews默认的滞后项（5），在Level和Intercept组合中，week1变量存在单位根，是非平稳的。
由于估计VAR模型时，滞后项时2期，所以在ADF检验中指定滞后项为2，在Level和Intercept组合中，week1变量不存在单位根，是平稳的。
day1和week1的脉冲响应和方差分解不在展示！
4 变量不平稳时如何做VAR
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如果VAR模型是不平稳的，但每个变量都是1阶差分后平稳。那么，是否可以直接对差分后的变量做VAR模型呢？答案是不一定。
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正确的做法是（参见Walter Enders的应用计量经济学：时间序列分析（第三版）297页）：
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首先对1阶单整变量做协整检验；如果不存在协整关系，那么可以直接对差分后的变量做VAR模型；如果存在协整关系，则需要用误差修正模型（VEC）来估计差分后变量之间的关系。