单变量-非线性ARCH、GARCH模型

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1 非线性ARCH、GARCH模型概述

单变量门限自回归模型是针对时间序列均值方程中的非线性进行建模和识别！

单变量时间序列模型中可能存在波动集聚性，通常需要用ARCH和GARCH模型来估计和识别。那么自然波动集聚也可能存在非线性，TARCH和TGARCH模型即是针对时间序列方差方程中的非线性进行建模和识别！

2 非线性ARCH、GARCH模型的形式

2.1 ARCH模型

均值方程：

$y_{t}= c + \alpha_{1} y_{t-1}+ \alpha_{2} y_{t-2}+ \cdots +\alpha_{n} y_{t-n} + \beta_{1} \varepsilon_{t-1}+ \beta_{2} \varepsilon_{t-2}+ \cdots +\beta_{n} \varepsilon_{t-n} +\varepsilon _{t}$

方差方程：

$\varepsilon _{t}=v_{t}\sqrt{h_{t}}$

$\small \begin{matrix} h_{t}=\gamma _{0}+a \varepsilon _{t-1}^{2}+ \gamma _{2} \varepsilon _{t-2}^{2} + \cdots + \gamma _{n} \varepsilon _{t-n}^{2} & \varepsilon _{t-1}^{2}\geq 0\\ h_{t}=\gamma _{0}+b \varepsilon _{t-1}^{2}+ \gamma _{2} \varepsilon _{t-2}^{2} + \cdots + \gamma _{n} \varepsilon _{t-n}^{2} & \varepsilon _{t-1}^{2} < 0 \end{matrix}$

2.2 GARCH模型

均值方程：

$y_{t}= c + \alpha_{1} y_{t-1}+ \alpha_{2} y_{t-2}+ \cdots +\alpha_{n} y_{t-n} + \beta_{1} \varepsilon_{t-1}+ \beta_{2} \varepsilon_{t-2}+ \cdots +\beta_{n} \varepsilon_{t-n} +\varepsilon _{t}$

方差方程：

$\varepsilon _{t}=v_{t}\sqrt{h_{t}}$

$\small \begin{matrix} h_{t}=\gamma _{0}+a \varepsilon _{t-1}^{2}+ \gamma _{2} \varepsilon _{t-2}^{2} + \cdots + \gamma _{n} \varepsilon _{t-n}^{2} +\delta _{1} h_{t-1}+\delta _{2} h_{t-2}+\cdots + \delta _{m} h_{t-m} & \varepsilon _{t-1}^{2}\geq 0\\ h_{t}=\gamma _{0}+b \varepsilon _{t-1}^{2}+ \gamma _{2} \varepsilon _{t-2}^{2} + \cdots + \gamma _{n} \varepsilon _{t-n}^{2} +\delta _{1} h_{t-1}+\delta _{2} h_{t-2}+\cdots + \delta _{m} h_{t-m} & \varepsilon _{t-1}^{2} < 0 \end{matrix}$

上述仅给出了ε滞后1期的门限形式，同理还有ε滞后2期、3期，...的门限形式！

无论ARCH还是GARCH的非线性形式，都是ε变量受到门限影响。

3 非线性ARCH、GARCH模型的应用

由于非线性ARCH、GARCH模型的估计方法融合在了ARCH、GARCH模型方法中，所以单变量时间序列中ARCH和GARCH模型的例子已经包含了非线性ARCH、GARCH模型的操作，所以这里不再举例！

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