1 模型说明
与多元线性回归中类似，单变量时间序列模型（ARMA）中也可能存在异方差的问题。导致模型的估计失效。
单变量时间序列模型中的异方差问题比多元线性回归中更严重。多元线性回归中有多个变量，异方差可能会相互抵消。而单变量时间序列模型中只有一个变量，异方差就是该变量固有的属性，其主要表现为波动的集聚性质。
下图展示了波动的集聚性走势，时间序列围绕0值上下波动，因而其是平稳时间序列。但是波动幅度从0刻开始逐渐增大，到50时刻波动幅度最大，之后拨付逐渐减小。
当然，这种非常明显和规则的波动集聚性在工程领域、音频处理中比较常见，但在经济变量中却很难见到。
ARCH和GARCH模型是对单变量时间序列的波动集聚性进行建模描述的最常用方法。通过对波动性建模分析，不仅可以提高时间序列的预测精度，而且可以对波动的集聚性特征进行提取和分析。
2 ARCH、GARCH模型的形式
2.1ARCH模型
均值方程：
方差方程：
2.2 GARCH模型
均值方程：
方差方程：
ARCH和GARCH模型包含两个方程，一是均值方差，其和ARMA模型一致；二是方差方程，即对均值方程中的残差项的方差进行建模。
ARCH模型中的方差方程类似一个移动平均过程（MA）；GARCH模型中的方差方程类似一个自回归移动平均过程（ARMA）。
3 ARCH、GARCH模型的应用
3.1 数据
shibor是上海银行间同业拆放利率，当时间比较短的时候，波动的集聚性特征不太明显，我们在ARMA模型应用中构建了shibor的均值方程。
但是的当时间序列较长时，shibor可能会表现出波动集聚性。所以这里采用ARCH和GARCH模型对5年时长的shibor数据进行波动集聚性分析。
3.2 录入数据
打开shibor的Excel数据文件，选择前两列数据；
打开数据编辑窗口，将数据从Excel中复制到Stata，注意粘贴时选择“将第一行作为变量名”。
3.3 数据预处理
设置时间变量：
encode 日期,g(t)
tsset t
重命名shibor变量：
rename on shibor
3.4 shibor变量描述性分析
绘制shibor变量走势图：
line shibor t
观察SHIBOR的走势图，发现数据在前半段波动的幅度较小，而后半段波动更为剧烈，存在明显的波动集聚现象。
3.5 单位根检验
dfgls单位根检验：
dfgls shibor,maxlag(10)
dfgls单位根检验可以自动选择最优的滞后期，所以这里首先采用dfgls方法进行单位根检验。
在估计结果中，dfgls选择的最优滞后期为9期，其对应的DF-GLS统计量为-3.508，小于1%的临界值-3.480。所以在1%显著水平上可以认为shibor变量平稳。
adf单位根检验：
dfuller shibor,lag(9)
进一步采用ADF单位根检验对shibor变量进行平稳性检验。这里我们采用dfgls方法选择的滞后期--9期，（dfgls方法最优的滞后9期不一定是ADF方法的最优滞后期，这里选择滞后9期仅是大致的判断！）
在估计结果中，T统计量为-3.851，小于1%的临界值-3.430。所以在1%显著水平上可以认为shibor变量平稳！
3.6 自相关和偏自相关检验
绘制自相关和偏自相关图：
corrgram shibor,lags(20)
自相关和偏自相关检验时滞后期可以设置的长一点，这里设置为20.
从自相关与偏自相关图可以看出，自相关拖尾，偏自相关系数一阶截尾。所以初步判定应该是AR(1)模型或AR(2)模型。
同样，观察法只能当作初步分析，具体形式可以在初步判断的基础上进行调整，然后根据变量显著性、AIC、RIC和R2来确定最优的模型形式。
3.7 估计ARMA模型
估计ar(1)模型并计算AIC和BIC：
arima shibor,ar(1/1)
estat ic
在估计结果中，ar(1)的系数显著，AIC为2.40039，BIC为17.78828.
估计arma(1，1)模型并计算AIC和BIC：
arima shibor,ar(1/1) ma(1/1)
estat ic
在估计结果中，ar(1)和ma(1)的系数均显著，AIC为35.40054，BIC为-14.88335.
由于arma(1,1)中ar(1)和ma(1)的系数均显著，且与ar(1)相比AIC增大、BIC减小。无法判断哪个模型更优，所以两个模型都可以！
这里选择arma(1,1)模型作为均值方程，进一步估计arch和garch模型！
3.8 绘制残差序列相关图和偏自相关图
估计完均值方程后，可以观察下均值方程残差项的自相关和偏自相关图。
生成残差序列：
arima shibor,ar(1/1) ma(1/1)
predict e1,res
g e2=e1^2
绘制残差序列自相关和偏自相关图：
ac e2,lags(20)
pac e2,lags(20)
观察resid的自相关和偏自相关图可知，AC滞后前10期超过了5%的置信区间，PAC滞后前10期也有多期超过了5%的置信区间。因而可以表明存在波动积聚性。但是不太好判断截尾和拖尾效应，所以很难通过图形判断出resid相关的形式!这种情况，可以多估计几种模型形式，通过统计量来判断最优形式。
但模型的形式仍应该坚持简洁的原则，不宜太复杂。
GARCH（1,1）可以近似高阶ARCH模型，因而当不不知道选择哪个模型时，或者选择的模型形式太复杂，不妨试一试GARCH（1,1）模型！
3.9 估计ARCH、GARCH模型
ARCH(1)模型：
arch shibor,ar(1) ma(1) arch(1/1)
estat ic
ARCH(1)模型估计结果显示，均值方程中AR(1)和MA(1)的系数均显著；方差方程中arch(1)系数均显著。AIC为-406.6835，BIC为-381.037.
ARCH(5)模型：
arch shibor,ar(1) ma(1) arch(1/5)
estat ic
ARCH(5)模型估计结果显示，均值方程中AR(1)和MA(1)的系数均显著；方差方程中arch(1)-arch(5)系数均显著。AIC为-1117.053，BIC为-1070.889.AIC和BIC均小于ARCH(1)模型，所以ARCH(5)模型更优！
由于ARCH(5)模型已经很复杂了，不再继续更高滞后项的模型，而是估计GARCH(1,1)模型！
GARCH(1，1)模型：
arch shibor,ar(1) ma(1) arch(1/1) garch(1/1)
estat ic
GARCH(1，1)模型估计结果显示，均值方程中AR(1)和MA(1)的系数均显著；方差方程中arch(1)、garch(1)系数均显著。AIC为-1242.7，BIC为-1211.924,AIC和BIC均显著小于arch(5)模型，所以 GARCH(1，1)模型更优！
3.10 扩展的ARCH、GARCH模型
ARCH-M：
arch shibor, arch(1) garch(1) archm
在估计结果中，没有加入ARMA的均值方程；ARCH-M的sigma估计值为-1.452167，且显著！
条件异方差中加入其他解释变量：
arch shibor,ar(1) ma(1) arch(1) garch(1) het(shibor)
het()中可以加入影响条件异方差的解释变量，这里将shibor变量加入，估计结果显示shibor变量系数为4.559143，且显著！
EGARCH：
g shibor100=shibor*100
arch shibor100, ar(1) earch(1) egarch(1)
直接估计shibor变量的EGARCH模型，对数似然函数值不收敛，这里将shibor变量扩大100倍，再估计EGARCH模型
估计结果显示earch_a的系数值为0.3723099，且显著！